, (6.1)
где использовано (5.1).
(6.2)
где применены формулы (3.1) и (2.8).
Из выражения (6.1) вытекает, что для идеального газа
(6.3) (6.3)
Сравнивая это значение с
(6.4)
придём к выводу, что при изохорическом и изобарическом процессах одинаковому изменению энтропии соответствует неодинаковое изме-нение внутренней энергии. Нетрудно также заметить, что для идеального газа, согласно (6.2), изменение энтропии, связанное или с изменением объёма, или же давления, не приводят к изменению внутренней энергии.
Найдём связь между изменениями давления и внутренней энергии системы при адиабатическом, изотермическом и изохорическом процессах.
(6.5)
(6.6)
(6.7)
В случае идеального газа формулы (6.5) и (6.7) дают
откуда (6.8)
Это соотношение показывает, что при изохорическом м адиабати-ческом процессах одинаковому изменению давления соответствуют неодинаковые изменения внутренней энергии. Читателям представ-ляем возможность самим выяснить физическую сущность различия этих величин. Мы только отметим, что при изохорическом про-цессе система не совершает работы, а изменение давления может происходить за счёт подводимого к системе или отводимого от системы количества теплоты. При адиабатическом же процессе изменение давления может быть обусловлено либо работой системы, против сил, за счет её внутренней энергии, либо же работой, со-вершенной над системой.
Найдём связь между изменениями объёма системы и её внут-ренней энергией при изобарическом процессе.
(6.9)
где были учтены (6.1), (2.15) и (2.2).
Для идеального газа выражение (6.9) даёт
(6.10)
Сравним это значение с ранее полученным (3.1) и выражением
(6.11)
Для идеального газа, на основании (3.1),
Из (6.10) и (6.11) следует:
откуда
(6.12)
Объяснение причин различия значений этих величин должно быть подобно объяснению различия величин (6.8). Только в полученном выражении изменения объёма системы и её внутренней энергии при адиабатическом процессе имеют противоположные знаки, а при изобарическом - одинаковые.
3. Найдём связь между изменениями отдельных параметров сис-темы при постоянном значении внутренней энергии.
(7.3)
В случае идеального газа имеем:
(7.4)
Этого и следовало ожидать, поскольку внутренняя энергия идеаль-ного газа зависит от температуры. Поэтому условию U=const соответствует T=const. Для реальных газов условие (7.4) не вы-полняется.
(7.5)Гч /-* ^ .6
(7.6)
(7.7)
Нетрудно убедиться, что для идеального газа
(7.8)
Найдём связь между изменениями отдельных параметров системы и её теплосодержанием.
(7.9)
(7.10)
(7.11)
(7.12)
Однако это значение частной производной можно определить и бо-лее простым способом, если учесть, что I=U+pV и dI=dU+d(pV). Тогда
Важно подчеркнуть, что одно и то же значение частной про-изводной, при постоянном значении выбранного параметра, можно получить несколькими способами в зависимости от выбора промежу-точных переменных. Учитывая это, при решении задач, можно ввес-ти такие якобианы, тождественно равные единице, которые относи-тельно быстро приведут к цели. Покажем это на одном примере.
(7.13)
где были использованы (3.1) и (2.2).
(7.14)
Аналогичное значение, но с помощью введения переменных S и p было получено ранее в выражении (6.9).
Приведённый пример показывает, что для проверки правильности нахождения одной и той же термодинамической величины мож-но использовать несколько вариантов, хотя и в данном примере использованы не все.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что для идеального газа
(8.4)
Читателям представляется возможность найти удовлетвори-тельное, с точки зрения законов термодинамики, объяснение выражений (8.4).
По аналогии с вышеприведенными примерами, можно решить большое количество задач, связанных со свободной энергией, энтальпией и термодинамическим потенциалом Гиббса.
Вышеприведенные примеры убедительно доказывают преимуще-ство такого подхода к решению задач термодинамики. Этим спосо-бом, в основном, решаются и задачи, связанные с термодинамикой стержней, диэлектриков и магнетиков, примеры которых приведены в [4] и [7], для которых можно учесть электро- и магнитострикционные явления, пьезоэлектрический и пьезомагнитный эффекты, а также и задачи, связанные с химическим потенциалом, когда количество вещества в системе изменяется .
Применение якобианов, особенно после изучения свойств термодинамических функций и их дифференциалов, позволяет более доступным способом решить ту или иную задачу, и, что очень важ-но, даёт возможность, даже при решении одной задачи, охватывать большой материал, предусмотренный программой. Преимущество та-кого подхода к рассмотрению отдельных, или группы, вопросов, как показали наши наблюдения, не вызывает сомнений как с точки зрения корректности математических выражений, так и логичности и взаимосвязи явлений термодинамики.
(9.17)34
Краткое введение ................………………..………………………………………….. 3
Термодинамические коэффициенты и установление связи между ними…………. 6
Вывод уравнения адиабатического процесса для идеального и реального газов .... 11
Вывод уравнения для вычисления скорости распространения звука в среде………. 13
Способы определения СV для идеального газа ………………………………………... 15
Об изменениях внутренней энергии при других изопроцессах……………………… 17
Вывод некоторых полезных термодинамических соотношений……………………. 21
Способы определения СР для идеального газа………………………………………… 26
Составление детерминантов Якоби и таблицы термодинами-ческих коэффициентов для систем, описываемых большим числом переменных………………………………….. 28
Литература………………………………………………………………………………… 33
Страницы: 1, 2