Различные вопросы электромагнитной теории изложены в огромном количестве книг по электромагнетизму, оптике и поляризации света. Удобно собрать используемый математический аппарат в одном месте, с едиными обозначениями, чтобы избежать неизбежной путаницы в обозначениях различных авторов.
Уравнения Максвелла для макроскопического электромагнитного поля внутри вещества в системе единиц СИ могут быть записаны в виде:
(1)
(2)
(3)
(4)
где - напряженность электрического поля, - магнитная индукция.
Электрическая индукция и напряженность магнитного поля определяются равенствами:
(5)
(6)
где - электрическая поляризация (средний электрический дипольный момент единицы объема), - намагниченность (средний магнитный дипольный момент единицы объема), - диэлектрическая постоянная (вакуума), - магнитная постоянная (вакуума).
Уравнения (1) - (6) должны быть дополнены материальными уравнениями:
(7)
(8)
(9)
где - проводимость, - магнитная восприимчивость, - электрическая восприимчивость.
Коэффициенты макроскопической теории и зависят от свойств рассматриваемой среды, при этом будем считать, что они не зависят от полей (среда линейна), координат (среда однородна) и направления (среда изотропна).
Используя классическую теорию термодинамики, для описания рассеяния света можно ввести параметры Стокса.
Вывод параметров Стокса и их свойства.
Поскольку полный вывод параметров Стокса в современной литературе нелегко найти в одном месте, полезно охарактеризовать основной путь, ведущий к установлению связей между этими параметрами и основным состоянием поляризации рассеянного излучения [ ]. Рассмотрим элементарный процесс рассеяния отдельной частицей, помещенной в точку О на рис.2, а.
a) б)
Рис.2 Графическое изображение элементарного процесса рассеяния и определение используемой системы координат. а - правосторонняя ортогональная система координат для падающего и рассеянного излучений, определение угла рассеяния и элемента телесного угла; б - эллипс поляризации, правосторонняя система координат, оси и другие параметры.
Предположим, что в результате этого процесса получается полностью поляризованное монохроматическое излучение с произвольной ориентацией эллипса поляризации, распространяющееся в направлении 3 (перпендикулярно плоскости чертежа рис.2, б). Это направление вместе с направлением падающего излучения I0 и точкой О определяет плоскость рассеяния. Два других направления 1 и 2 совместно с направлением 3 образуют правую ортогональную систему координат с центром в точке О/. Направления 1 и 2 всегда выбираются соответственно перпендикулярно и параллельно плоскости рассеяния.
Чтобы найти соотношение между вектор-параметрами Стокса I0 и I, которые связаны матрицей рассеяния (10) и комплексными амплитудами S1 и S2, определяемые из теории, необходимо, прежде всего, сделать два вполне справедливых допущения.
. (10)
Во-первых, примем, что экспериментально можно определить (например, с помощью анализаторов и пластинок в ј длины волны) осреднение по времени амплитуды и разности фаз колебаний электрического вектора вдоль направлений 1 и 2 [ ].
Во-вторых, предположим, что значения комплексных амплитуд рассеяния вдоль этих направлений можно теоретически выразить через амплитуды падающего излучения (это делается при помощи теории Ми). Рассмотрим теперь поле излучения вдоль фиксированной плоскости, проходящей через точку О/, которая удалена от точки О на расстояние, достаточное для выполнения указанных выше условий освещения (рис 2, б). Принимая во внимание, как обычно, наличие гармонических колебаний вектора , происходящих с угловой частотой , можно записать
,
(11)
где
относятся к компонентам вектора вдоль направлений 1 и 2 соответственно; и - максимальные значения амплитуд и . Фазовые углы и отсчитываются таким образом, что разность фаз является постоянной величиной. Согласно принятым ранее допущениям, значения и также должны быть постоянными. Правая часть выражения (11) дает параметрическое представление эллипса поляризации, который является результатом двух связанных гармонических колебаний, распространяющихся вдоль направлений 1 и 2. Действительно, исключая угол при помощи очевидных тригонометрических преобразований , после алгебраических упрощений получаем из (11)
(12)
Это общая форма уравнения эллипса, описываемого концом вектора электрического поля. Большая и малая оси этого эллипса вдоль направлений и необязательно совпадают с осями координат 1 и 2, а образуют с ними угол . Чтобы определить угол , произведем стандартный поворот координатных осей 1 и 2 при помощи матрицы преобразования
которая дает компоненты поля вдоль направлений и . Используя (11), получаем
Раскрывая тригонометрическое выражение , предыдущие формулы перепишем в виде
, (13)
. (14)
Исключая угол из системы (13), после упрощений находим
(15)
Используя соотношение (14) и производя стандартные преобразования, полагаем
Следует подчеркнуть, что уравнение (15) не имеет смысла, если . Последнее равенство выполняется, когда , т.е. , где - любое целое число, включая нуль. В случае эллипс поляризации вырождается в прямую. Заметим, что при помощи указанного выше поворота осей уравнение эллипса (15) можно привести к нормальной форме
при которой центр эллипса находится в начале координат, а большая и малая полуоси располагаются соответственно вдоль направлений и . Сравнивая нормальную форму с общим видом уравнения (15), отмечаем, что третий член в левой части (15) пропадает, т.е.
Используя выражение (14), после группировки членов и упрощений получаем
или
(16)
Будем считать, что соотношение (16) справедливо даже и тогда, когда , т.е. . В этом случае и имеется неопределенность относительно квадранта плоскости (1,2), в котором лежит главная ось эллипса. Эта неопределенность устраняется, если известна разность фаз .
Выведем теперь из (15) другие соотношения, используя определения большой и малой полуосей эллипса поляризации. При условии, что уравнение (16) остается справедливым, имеем
т.е.
Из соотношений (14) следует, что числитель в правой части последнего уравнения обращается в . Используя указанное выше выражение для , получаем
(17)
Теперь можно показать аналитически, что для рассматриваемого эллипса поляризации длина диагонали D любого описанного около него прямоугольника, т.е. расстояние 2О/R на рис 2, б, является инвариантной
для всех углов . Отсюда следует, что для всех имеем
(18)
Поэтому, сравнивая (18) с (17), получаем
(19)
Прежде чем получить выражения для параметров Стокса, необходимо вывести еще несколько дополнительных соотношений. Определим угол следующим образом:
, .
Используя обычные свойства алгебраических отношений и некоторые тригонометрические тождества, получим
, (20)
Аналогичным образом введем другой вспомогательный угол :
, (21)
После подстановки (21) в (16), имеем
(22)
Наконец, разделив (19) на (18), получаем
(23)
Из (20), (21) и (23) находим
(24)
Получим теперь соотношения между четырьмя параметрами Стокса I, Q, U и V для полностью поляризованного потока излучения и такими параметрами поляризации как углы и . Для этого определим параметры Стокса следующим образом:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
