(9)

В реальных исследованиях приходится ограничивать число членов ряда, а для определения амплитуд используются вышеназванные методы. Практически наиболее часто применяются методы трех и пяти ординат.

Суть метода заключается в следующем: ВАХ нелинейного элемента делится на три (пять) участка, точки 1, 3, 5 или 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 6.6), при этом фиксируются значения входного и выходного сигналов ( и ). Затем составляется система из трех (пяти) уравнений для токов и решается относительно неизвестных и т. д. Из графика на рисунке 6 видно, что в точках 1-5 будут следующие значения амплитуд и фаз входного и выходного сигналов (табл. 1).

Таблица 1

Для метода трех ординат ряд (9) сокращается до трех слагаемых:

, (10)

Составляется система из трех уравнений и решается относительно :

(11)

Откуда

(12)

Если требуется определить большее число спектральных составляющих, аналогичным методом составляется и решается система из требуемого числа уравнений. Данный метод применим при слабо выраженной нелинейности ВАХ и отсутствии отсечки тока.

Аналитический метод анализа

Если работа НЭ (нелинейной цепи) происходит в режиме малого сигнала и, как правило, без отсечки выходного тока, для аппроксимации используется степенной полином вида:

. (13)

Пусть на входе действует напряжение При подстановке его в (13) получим:

(14)

Воспользовавшись известными формулами

(15)

представим равенство (14) так:

Отсюда вытекают следующие соотношения для расчета постоянной составляющей тока и амплитуд гармоник:

(17)

3. Анализ цепей методом угла отсечки

При работе нелинейной цепи с большими амплитудами входного сигнала, когда степенная аппроксимация не дает хороших результатов применяется кусочно-линейная аппроксимация. Работа НЭ происходит при этом с отсечкой выходного тока, и большое применение находит аналитический метод анализа, получивший название метода угла отсечки.

Форма тока в цепи, содержащей НЭ с характеристикой

(18)

видна из графика, представленного на рисунке 7 (при условии, что на вход подано напряжение ).

Рис. 7. График тока через НЭ при работе с отсечкой тока

График тока имеет характерный вид периодической последовательности косинусоидальных импульсов, которые характеризуются амплитудой и длительностью 2, где - угол отсечки, числено равный половине той части периода, в течение которого через НЭ протекает ток. Период повторения импульсов равен . Спектральный состав такого периодического колебания легко определить, разложив функцию тока в ряд Фурье:

(19)

Угол отсечки легко найти из равенства :

(20)

Функция тока определяется следующим выражением:

. (21)

При :

. (22)

Амплитуды спектральных составляющих тока через НЭ определяются через коэффициенты Берга:

(23)

где коэффициенты являются функциями одного аргумента - угла отсечки , получили название коэффициентов (функций) Берга.

Рис. 8. Графики функций Берга

Анализ графиков функций позволяет сделать вывод о том, при каких углах отсечки амплитуды (n = 0, 1, 2, ...) имеют максимальные или минимальные (нулевые) значения. Это дает возможность с помощью выбора режима работы НЭ (изменяя напряжение смещения , можно менять ) управлять соотношением амплитуд гармоник в спектре тока через НЭ.

Таким образом, алгоритм вычисления амплитуд гармоник тока через НЭ может быть следующим:

По известным значениям , , определяется угол отсечки с помощью формулы (18).

По формуле (20) или графически определяется величина .

С помощью таблицы или по графикам (рис. 8) находят .

Вычисляются амплитуды гармоник: k = 1, 2, ….

4. Воздействие двух гармонических сигналов на безынерционный НЭ

Для выявления основных закономерностей рассмотрим реакцию НЭ на воздействие двух гармонических сигналов. Такое воздействие принято называть бигармоническим:

(24)

Для упрощения анализа на первом этапе воспользуемся аппроксимацией ВАХ нелинейного элемента полиномом второй степени:

(25)

После подстановки (22) в (23) получим

Выполнив тригонометрические преобразования по формулам

и сгруппировав члены, получим следующее спектральное представление тока

(26)

Анализ выражения (24) позволяет сделать вывод о значительном обогащении спектра тока по сравнению со спектром входного сигнала. В спектре выходного колебания, кроме слагаемых, имевшихся во входном сигнале - постоянной составляющей и гармоник на частотах ?1 и ?2, возникли гармонические составляющие суммарной и разностной частоты (?1 + ?2) и (?1 - ?2), а также компоненты с удвоенными частотами 2?1, 2?2.

При увеличении порядка аппроксимирующего полинома проблема вычисления амплитуд спектральных составляющих сводится к громоздким выкладкам, приводить которые в данной лекции нецелесообразно. В самом общем случае, когда ВАХ представлена полиномом n-й степени, спектр тока через НЭ (в случае бигармонического воздействия) будет включать составляющие с частотами

(27)

где p и q - целые числа, причем (p + q) ? n.

Сумма (p + q) называется порядком комбинационного колебания. Комбинационное колебание в общем случае можно записать

(28)

где k - коэффициент пропорциональности.

При построении различных радиотехнических устройств, являющихся элементами приемных и передающих трактов (модуляторы, детекторы, преобразователи частоты, дифференциальные усилители), приходится использовать нелинейные цепи с бигармоническим воздействием. При этом с помощью фильтрации выделяются нужные комбинационные составляющие (т. е. создающие полезный эффект в нагрузке в зависимости от реализуемой операции) и соответственно подавляются побочные продукты взаимодействия двух сигналов и . Теперь рассмотрим, как влияют амплитуды воздействующих сигналов и на соотношение амплитуд гармоник в спектре выходного тока.

Параметрический режим работы нелинейного элемента

При реализации некоторых устройств аппаратуры связи, работа которых основана на использовании нелинейных электрических цепей (элементов) и бигармоническом воздействии, часто возникает практическая ситуация, когда амплитуда одного из напряжений значительно больше другого. Например, в преобразователе частоты супергетеродинного радиоприемного устройства амплитуда преобразуемого сигнала значительно меньше амплитуды напряжения местного источника гармонического напряжения (гетеродином). В этих условиях НЭ для сигнала с малой амплитудой выступает в качестве параметрического элемента. Графическая иллюстрация такого режима представлена на рисунке 9.

Рис. 9. Графическая иллюстрация параметрического режима работы

К нелинейному элементу с вольт-амперной характеристикой приложены два напряжения: гармонический сигнал с большой амплитудой и малое напряжение , в общем случае не обязательно гармоническое.

Учитывая малую величину напряжения по сравнению c , можно считать участок характеристики, на которой в данный момент времени действует напряжение , практически линейным (фрагмент ВАХ на рисунке 9). При этом напряжение действует как изменяющееся во времени напряжение смещения, т. е. источник перемещает рабочую точку на характеристике по закону . Таким образом, можно считать, что для малого колебания нелинейный элемент является линейным, но с изменяющейся по закону крутизной . Такой элемент и называется параметрическим, причем в роли переменного параметра выступает крутизна вольт-амперной характеристики.

Выше уже говорилось о том, что очень важно обеспечить минимизацию побочных продуктов взаимодействия напряжений и , а также подчеркнуть, по возможности, полезную комбинационную составляющую. Рассмотрим условия, при которых может быть решена эта задача, для чего получим аналитическое выражение для тока через НЭ в общем виде.

Если на вход НЭ с характеристикой воздействуют два колебания: , причем выполняется неравенство

(29)

а амплитуда напряжения такова, что оно не выходит за пределы рабочей области ВАХ - < 1 В, то выражение для тока через НЭ можно представить в виде ряда Тейлора по степеням малого напряжения вблизи изменяющейся во времени (по закону ) рабочей точки.

. (30)

В этом выражении первое слагаемое - ток, величина которого определяется только источником , а все остальные слагаемые - добавка к току зa счет действия источника малого сигнала . Очевидно, что первая производная тока - крутизна характеристики - функция напряжения (закон ее изменения во времени показан на правой части графика на рисунке 9). С учетом введения выражение (28) можно переписать в виде

. (31)

В общем случае, когда - чётная периодическая функция, ток и все коэффициенты ряда (29) , , , ... будут четными периодическими функциями, следовательно, их можно представить рядами Фурье, содержащими только косинусные слагаемые:

(32)

Если подставить все выражения (30) в (29) и выполнять элементарные (но очень громоздкие) преобразования, можно убедиться, что в спектре тока через НЭ будет присутствовать множество комбинационных составляющих, число которых не меньше, чем в (25). При этом амплитуды тока нелинейно будут зависеть от и . Таким образом, неизбежно возникают нелинейные искажения в выходном сигнале. В то же время эти искажения существенно меньше, чем при соизмеримых амплитудах воздействующих сигналов. Чтобы в этом убедиться, достаточно принять во внимание, что << l B, следовательно, все слагаемые в (29), начиная с третьего, являются малостями более высоких порядков и ими можно пренебречь без большой (с точки зрения инженерной практики) погрешности. Таким образом, учитывая справедливость неравенства

(33)

можно записать:

(34)

Из последнего выражения видно, что для колебания с малой амплитудой нелинейный элемент является линейным (т. к. выражение (32) - линейная функция ), но с переменным параметром - крутизной, которая изменяется во времени под воздействием большого напряжения :

Очевидно, что чем меньше амплитуда напряжения , тем меньше погрешность от замены (29) на (32), меньше количество и ниже уровень побочных (нежелательных) комбинационных составляющих в спектре выходного тока.

Если работа нелинейной цепи в этом случае происходит без отсечки тока НЭ, то ток через НЭ вообще не содержит комбинационных составляющих, приводящих к искажению выходного колебания (выходным колебанием считается ток на частоте ?1 + ?2 или |?1 - ?2|). В этом случае устройство на основе данной нелинейной цепи будет линейной параметрической системой.

Таким образом, для получения линейной параметрической цепи на основе НЭ необходимо выполнить ряд условий:

1. Обеспечить работу с малым уровнем входного сигнала.

2. Использовать фильтр на выходе цепи, выделяющий полезное колебание и эффективно подавляющий нежелательные продукты взаимодействия u1 и u2.

3. Обеспечить соответствующий режим работы НЭ, при котором уменьшается уровень ненужных комбинационных составляющих.

4. Подбирать НЭ с ВАХ, наиболее близкой по форме к квадратичной параболе.

Библиографический список

Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы.- М.: Высш. шк., 1986.- С. 222-229.

Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.- М.: Наука, 1986.- С. 502-504.

Страницы: 1, 2